Shumë studentë që studiojnë matematikë të lartë në vitet e tyre të moshuar ndoshta kanë menduar: ku zbatohen ekuacionet diferenciale (DE) në praktikë? Si rregull, kjo çështje nuk diskutohet në leksione, dhe mësuesit menjëherë kalojnë në zgjidhjen e DE pa u shpjeguar studentëve zbatimin e ekuacioneve diferenciale në jetën reale. Ne do të përpiqemi ta plotësojmë këtë boshllëk.
Le të fillojmë duke përcaktuar një ekuacion diferencial. Pra, një ekuacion diferencial është një ekuacion që lidh vlerën e derivatit të një funksioni me vetë funksionin, vlerat e ndryshores së pavarur dhe disa numra (parametra).
Zona më e zakonshme në të cilën zbatohen ekuacionet diferenciale është përshkrimi matematik i fenomeneve natyrore. Ato përdoren gjithashtu në zgjidhjen e problemeve kur është e pamundur të vendoset një marrëdhënie e drejtpërdrejtë midis disa vlerave që përshkruajnë një proces. Probleme të tilla lindin në biologji, fizikë, ekonomi.
Në biologji:
Modeli i parë kuptimplotë matematikor që përshkruante bashkësitë biologjike ishte modeli Lotka - Volterra. Ajo përshkruan një popullatë prej dy specieve që ndërveprojnë. E para prej tyre, e quajtur grabitqare, në mungesë të së dytës, vdes sipas ligjit x ′ = –ax (a> 0), dhe e dyta - pre - në mungesë të grabitqarëve shumëzohet për një kohë të pacaktuar në përputhje me ligjin të Malthus. Ndërveprimi i këtyre dy llojeve është modeluar si më poshtë. Viktimat vdesin me një shpejtësi të barabartë me numrin e takimeve të grabitqarëve dhe preve, që në këtë model supozohet të jetë proporcionale me madhësinë e të dy popullatave, d.m.th. e barabartë me dxy (d> 0). Prandaj, y ′ = by - dxy. Grabitqarët riprodhohen në një proporcion me numrin e preve të ngrënë: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistemi i ekuacioneve
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = nga - dxy, (2)
grabitqari-pre që përshkruan një popullsi të tillë quhet sistemi (ose modeli) Lotka-Volterra.
Në fizikë:
Ligji i dytë i Njutonit mund të shkruhet në formën e një ekuacioni diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), ku m është masa e trupit, x është koordinata e tij, F (x, t) është forca që vepron në trup me koordinatën x në kohën t. Zgjidhja e tij është trajektorja e trupit nën veprimin e forcës së specifikuar.
Në ekonomi:
Modeli i rritjes natyrore të prodhimit
Ne do të supozojmë se disa produkte shiten me një çmim fiks P. Le Q (t) të tregojë sasinë e produkteve të shitura në kohën t; atëherë në këtë moment në kohë të ardhurat janë të barabarta me PQ (t). Lejoni që një pjesë e të ardhurave të specifikuara të shpenzohen për investime në prodhimin e produkteve të shitura, d.m.th.
I (t) = mPQ (t), (1)
ku m është norma e investimit - një numër konstant, dhe 0
